Question

【題目】如圖，將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1B1C1的位置，AB與A1C1相交于點(diǎn)D，AC與A1C1、BC1分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：△BCF≌△BA1D．
（2）當(dāng)∠C=α度時(shí)，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，∠A=∠C，

∵將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1B1C1的位置，

∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，

在△BCF與△BA1D中，

，

∴△BCF≌△BA1D

（2）

解：四邊形A1BCE是菱形，

∵將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1B1C1的位置，

∴∠A1=∠A，

∵∠ADE=∠A1DB，

∴∠AED=∠A1BD=α，

∴∠DEC=180°﹣α，

∵∠C=α，

∴∠A1=α，

∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，

∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，

∴四邊形A1BCE是平行四邊形，

∴A1B=BC，

∴四邊形A1BCE是菱形

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1 ， 根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠A1=∠A，根據(jù)平角的定義得到∠DEC=180°﹣α，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，證得四邊形A1BCE是平行四邊形，由于A1B=BC，即可得到四邊形A1BCE是菱形．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，需要了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．