Question

如圖，在直角坐標系中，C點坐標為（0，3），A點在x軸上，=，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）過A、C兩點，圖象與x軸的另一交點為B，原點O關于BC的對稱點恰好在直線AC上．
（1）求A點的坐標．
（2）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

解：（1）∵C點坐標為（0，3），A點在x軸上，=，
∴AO=4，
故A點坐標有兩種情況，即A（4，0）或（-4，0）；

（2）如圖1，由題意得出，∠OCA的角平分線與x軸的交點即為點B，
若點O在AC上的落點為D，
則BD⊥AC，且CD=CO=3，
∵CO=3，AO=4，
∴AC==5，
故AD=5-3=2，
∵∠BDA=90°，AB=4-BO=4-BD，
∴BD²+AD²=AB²，
∴BD²+2²=（4-BD）²，
解得：BD=，
則B點坐標為：（，0），
設經過A，B，C三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得：，
故經過A，B，C三點的拋物線解析式為y=x²-x+3，
同理如圖2，可得出，當A′點坐標為（-4，0），B′點坐標為（-，0），拋物線解析式為：y=x²+x+3．
分析：（1）利用C點坐標為（0，3），=，即可得出AO=4，進而得出A點坐標即可；
（2）利用勾股定理首先得出AC的長，再利用原點O關于BC的對稱點恰好在直線AC上設為D點，得出CD=3，進而求出AD，BD的長，即可求出拋物線解析式即可，注意A點坐標有兩種情況．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及勾股定理等知識，注意根據(jù)點的對稱性得出B點坐標是解題關鍵．