Question

（2010•西城區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=30°，點(diǎn)E在CD邊上．
（1）若AE=4，求梯形ABCE的面積；
（2）若點(diǎn)F在AC上，且∠BFA=∠CEA，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABC中，利用∠BAC=30°的正切求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理，利用△ADE的三邊求出DE的長(zhǎng)度，即可求出EC，代入梯形面積公式即可求解．
（2）求出對(duì)角線(xiàn)AC的值，利用△ABF和△CAE相似的性質(zhì)即可求解．
解答：解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=6，（1分）
在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，BC=ABtan∠BAC=2，（2分）

（1）在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=2，
∴DE==2
∴EC=6-2=4．
∴梯形ABCE的面積S=（EC+AB）•BC=（4+6）×2=10．（3分）

（2）在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，
∴AC=AB÷cos30°=4，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BFA=∠CEA，
∴△ABF∽△CAE，
∴===．
點(diǎn)評(píng)：（1）利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到上底EC的長(zhǎng)度是求面積的關(guān)鍵；
（2）利用三角形相似求解對(duì)應(yīng)邊的比值，關(guān)鍵在于對(duì)角線(xiàn)AC的求解，利用三角函數(shù)AC不難求解．