Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且與y軸交于點D．
（1）當點D在y軸正半軸時，是否存在實數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（2）當m=-1時，將函數(shù)y=x²-2mx+m²-4的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象Ω．當直線與圖象Ω有兩個公共點時，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：令y=0得x²-2mx+m²-4=0，解得x₁=m-2，x₂=m+2，
∴A（m-2，0），B（m+2，0），D（0，m²-4），
（1）∵點D在y軸正半軸，
∴m²-4＞0，設存在實數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形，則BO=OD，
即|m+2|=m²-4，
①當m+2＞0時，m²-4=m+2，解得x=3或x=-2（舍去）；
②當m+2＜0時，m²-4+m+2=0，解得x=1或x=-2（都舍去）；
③當m+2=0時，點O、B、D重合，不合題意，舍去；
綜上所述，m=3．

（2）當m=-1時，y=x²+2x-3，則A（-3，0），B（1，0）頂點為（-1，-4）
因為直線與圖象Ω有兩個公共點，
則當直線過A點時，
當直線過B（1，0）時，，
當直線與y=-x²-2x+3只有一個公共點時，，
根據(jù)圖象，可得．

分析：（1）令y=0求得方程的兩個解，即得出A、B、D的坐標；再根據(jù)點D在y軸正半軸，分情況討論，從而得出m的值；
（2）由已知條件，得出A、B的坐標，即得出拋物線的頂點，由直線與圖象的交點個數(shù)求出b的不同值，再得出b的取值范圍即可．
點評：本題是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了等腰三角形的性質，需注意分類討論各種情況．綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．（2）中弄清直線與圖象的交點個數(shù)是解題的關鍵．