Question

一個(gè)圓柱形容器的容積為Vm³，開(kāi)始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水，向容器中注滿水的全過(guò)程共用時(shí)間t min．
（1）問(wèn)大水管的進(jìn)水速度是小水管進(jìn)水速度的多少倍？
（2）求兩根水管各自的進(jìn)水速度．

Answer 1

考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)進(jìn)水速度等于單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水的體積和體積的計(jì)算方法知大進(jìn)水管是小進(jìn)水管的4倍．
（2）設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為9x，一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開(kāi)始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管3倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過(guò)程共用時(shí)間t分可列方程求解．

解答：解：（1）口徑為水管橫截面的直徑，口徑加大2倍，橫截面積加大4倍，
解釋如下：
D=2d，S_大=π（

D

2

）²=πd²，S_小=π（

d

2

）²=

πd2

4

即S_大=4S_小
如果大小水管中的水的流動(dòng)速度一樣，設(shè)為v，都用了t 時(shí)間，則流出水的體積為：
V_大=vtS_大=vtπd²，V_小=vtS_小=

vtπd2

4

則大水管進(jìn)水速度=

v大

4

=vπd²
小水管進(jìn)水速度=

v小

t

=

vπd2

4

即大水管進(jìn)水速度：小水管進(jìn)水速度=4；

（2）若小水管的半徑為 r米，則大水管的半徑為 2r米，
所以大水管的橫截面是小水管橫截面的 4倍，
設(shè)小水管注水速度為 x立方米/分，則大水管注水速度為4x立方米/分．
根據(jù)題意列方程．得

v 2

x

+

v 2

4x

=t
解得x=

5v

8t

經(jīng)檢驗(yàn)x=

5v

8t

是方程的解，
∴x=

5v

8t

，4x=

5v

2t

答：兩根水管各自的注水的速度應(yīng)分別為x=

5v

8t

立方米/分，

5v

2t

立方米/分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．