Question

如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E．

（1）若BD平分∠ABC，求證CE=BD；

（2）若D為AC上一動點(diǎn)，∠AED將會如何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說明理由。

Answer 1

（1）延長BA、CE相交于點(diǎn)F，

         先證△BEC≌△BEF(ASA)（          3分），

      ∴CE=FE，∴CE=CF．

      ∵∠BAC是直角，∴∠BAD=∠CAF=90°，

      而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，

        ∴∠ACF=∠FBE                   （4分），

      又∵AC=AB，∴△BAD≌△CAF(ASA)，

          ∴BD=CF，即CE=BD（5分）

（2）∠AEB不變?yōu)?5°（6分）

      理由如下：

過點(diǎn)A作AH⊥BE垂足為H，

作AG⊥CE交CE延長線于G，

先證∠ACF=∠ABD                  （8分）

得△BAH≌△CAG(AAS)，∴AH=AG   （9分）

而AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，

   ∴∠BEA=∠BEG=45°            （10分）

  或：由⑴證得△BAD≌△CAF(ASA)，△BAD的面積=△CAF的面積，∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，∴AH=AG（余下同上）．