Question

（2008•銅仁地區(qū)）如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長交BD于F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)；
（2）求證：CG是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，那么對(duì)應(yīng)線段成比例，由E為CH的中點(diǎn)，可證得DF=FB．
（2）連接OC，證∠OCF=90°即可，注意使用（1）中得到的結(jié)論得到CF=FB，得到相應(yīng)的角相等，半徑相等得到的對(duì)應(yīng)角相等．
解答：證明：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF．（1分）
∴．
∵HE=EC，
∴BF=FD．（3分）

（2）連接CB、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵F是BD中點(diǎn)，CF=DF=BF，
∴∠BCF=∠CAB=∠CBF=90°-∠CBA=∠CBF=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴CG是⊙O的切線．（6分）
點(diǎn)評(píng)：注意使用已得到的結(jié)論，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩三角形相似，對(duì)應(yīng)線段成比例；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．