Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），C（3，1）拋物線y= x2+bx﹣2的圖象過C點，交y軸于點D．

（1）在后面的橫線上直接寫出點D的坐標及b的值： ， b=；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l，設l與x軸交于點G（x，0），當OG等于多少時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，﹣2）；
（2）

解：在Rt△A0B中，OA=1，OB=2，由勾股定理，得

AB2=OA2+OB2=5，

∴S△ABC= AB2= ，

設l與AC、BC分別交于E，F(xiàn)，直線BC所在的直線解析式為y=kx+b，

將B（0，2），C（3，1）代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

同理直線AC的解析式為y= x﹣ ，

∴點E，F(xiàn)的坐標為E（x， x﹣ ），F(xiàn)（x，﹣ x+2），

EF=（﹣ x+2）﹣（ x﹣ ）= ﹣ x，

過C作CH⊥x軸于H點，

在△CEF中，EF邊上的高h=OH﹣x=3﹣x，

由題意可知S△CEF= S△ABC= EFh，

即 （ ﹣ x）（3﹣x）= × ，

解得x1=3﹣ ，x2=3+ （不符合題意，舍），

當OG=3﹣ 時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分；

（3）

解：拋物線上存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形，

如圖2

，

過C作CM⊥y軸于點M，則CM=3，OM=1，BM=OB﹣OM=1．

過點P作PA∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PABC是平行四邊形，

∵ ，

∴∠PAN=∠BCM．

過點P作PN⊥x軸于N，

在△APN和△CBM中，

∴△PAN≌△BCM，

∴PN=BM=1，AN=CM=3，

∴ON=AN﹣OA=2，

∴P點坐標為（﹣2，1）．

拋物線解析式為：y= x2+ x﹣2，當x=﹣2時，y=1，即點P在拋物線上．

∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（﹣2，1）．

【解析】解：（1）將C點坐標代入解析式，得 ×32+3b﹣2=1，解得b= ，函數(shù)解析式y(tǒng)= x2+ x﹣2，當x=0時，y=﹣2，即D（0，﹣2），所以答案是：（0，﹣2）， ；
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．