Question

6．【探究】
如圖①在△ABC中，以AC為邊向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=90°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CF，交EC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：DF=CE．
【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，以AC為邊向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=50°，點(diǎn)A在AB邊上，以E為頂點(diǎn)作∠CEA=50°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CF，交EC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若AC=BC=5，AB=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 【探究】由已知條件易證∠FDC=∠ACE，進(jìn)而可證明△DFC≌△CEA，由全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等即可得到DF=CE；
【應(yīng)用】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，由已知條件可以得到CA=CD，∠DFC=∠CGA，由CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，可以得到∠DCF=∠CAG，從而可以證得△CDF≌△ACG，由全等三角形的性質(zhì)可以得到DF=CG，根據(jù)在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，可以求得CG的長(zhǎng)，從而得到DF的長(zhǎng)．

解答 【探究】證明：
∵∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACE=90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DCF+∠FDC=90°，
∴∠FDC=∠ACE，
∵DF⊥CF，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠DFC=90°，
在△DFC和△CEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AEC=90°}\\{∠FDC=∠ACE}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△CEA（AAS），
∴DF=CE；
【應(yīng)用】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，
∵CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，
∴∠CGA=∠CGE=∠DFC=90°，
∴∠GCE=∠CGE-∠CEA=90°-50°=40°，∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ECG+∠GCA+∠ACD+∠DCF=180°，
∴∠GCA+∠DCF=90°，
∴∠GCA=∠FDC，
在△CDF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCA=∠FDC}\\{∠DFC=∠CGA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△ACG（AAS），
∴DF=CG，
∵在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，
∴AG=4，
∴CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}$=3，
∴DF=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確做出題目的輔助線(xiàn)再找出題目中全等三角形需要的條件，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考試題．