Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=30⁰，將線段BC繞點B逆時針旋轉60⁰得到線段BD，再將線段BD平移到EF，使點E在AB上，點F在AC上．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD和∠CFE的度數；
（2）在圖1中證明：AE=CF；
（3）如圖2，連接CE，判斷△CEF的形狀并加以證明．

Answer 1

（1）15°，45°；（2）證明見解析；（3）△CEF是等腰直角三角形，證明見解析.

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質得到∠ABC的度數，由旋轉的性質得到∠DBC的度數，從而得到∠ABD的度數；根據三角形外角性質即可求得∠CFE的度數.
（2）連接CD、DF，證明△BCD是等邊三角形，得到CD=BD，由平移的性質得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而AB∥FD，證明△AEF≌△FCD即可得AE=CF．
（3）過點E作EG⊥CF于G，根據含30度直角三角形的性質，垂直平分線的判定和性質即可證明△CEF是等腰直角三角形.
（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=30⁰，∴∠ABC=75⁰.
∵將線段BC繞點B逆時針旋轉60⁰得到線段BD，即∠DBC=60⁰．∴∠ABD= 15°.
∴∠CFE=∠A+∠ABD=45°．
（2）如圖，連接CD、DF．
∵線段BC繞點B逆時針旋轉60?得到線段BD，∴BD=BC，∠CBD=60⁰．∴△BCD是等邊三角形．
∴CD=BD．
∵線段BD平移到EF，∴EF∥BD，EF=BD．
∴四邊形BDFE是平行四邊形，EF= CD．
∵AB=AC，∠A=30⁰，∴∠ABC=∠ACB=75⁰．∴∠ABD=∠ACD=15°．
∵四邊形BDFE是平行四邊形，∴AB∥FD．∴∠A=∠CFD.
∴△AEF≌△FCD（AAS）．
∴AE=CF．

（3）△CEF是等腰直角三角形，證明如下：
如圖，過點E作EG⊥CF于G，
∵∠CFE =45°，∴∠FEG=45°．∴EG=FG．
∵∠A=30⁰，∠AGE=90°，∴．
∵AE=CF，∴．∴．∴G為CF的中點．∴EG為CF的垂直平分線．
∴EF=EC．
∴∠CEF=∠FEG=90°．
∴△CEF是等腰直角三角形．