Question

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與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內(nèi)切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內(nèi)切圓，…，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓，設(shè)正n（n≥3）邊形的面積為S_正n邊形，其內(nèi)切圓的半徑為r，試探索正n邊形的面積．（結(jié)果可用三角函數(shù)表示）
如圖①，當(dāng)n=3時(shí)，設(shè)AB切圓O于點(diǎn)C，連接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如圖②，當(dāng)n=4時(shí)，仿照（1）中的方法和過程可求得：S_正四邊形=______；
（2）如圖③，當(dāng)n=5時(shí)，仿照（1）中的方法和過程求S_正五邊形；
（3）如圖④，根據(jù)以上探索過程，請(qǐng)直接寫出S_正n邊形=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）同求正三邊的面積的方法一樣先計(jì)算出中心角∠AOB=90°，在Rt△AOC中，用r表示出AC，然后表示出△OAB的面積，利用S_正四邊形=4S_△AOB計(jì)算即可；
（2）同（1）一樣，只是中心角==72°，得到∠AOC=36°；
（2）同（1）一樣，只是中心角=，得到∠AOC=．
解答：解：（1）4r²•tan45°；

（2）如圖，當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)AB切⊙O于點(diǎn)C，連接OA，OC，OB，如圖，
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB，AB=2AC，
在Rt△AOC中，∵∠AOC=•=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=•2r•tan36°•r=r²•tan36°，
∴S_正五邊形=5S_△OAB=5r²•tan36°；

（3）nr²•tan．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形的內(nèi)切圓的性質(zhì)：圓心到各邊的距離相等，都等于圓的半徑；也考查了解直角三角形和三角形的面積公式以及正多邊形的性質(zhì)．