Question

如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，交AB、AC于點M、N，那么BM、MN、NC存在的數(shù)量關(guān)系為________．

Answer 1

BM+NC=MN
分析：由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，角平分線的定義得出∠OBM=∠OBC，∠OCN=∠OCB，對于相等角之間的等價替換可得∠OBM=∠MOB，∠OCN=∠NOC，即：OM=BM，ON=NC，又MN=OM+ON，即可得出BM、MN、NC存在的數(shù)量關(guān)系為：BM+NC=MN．
解答：BM、MN、NC存在的數(shù)量關(guān)系為：BM+NC=MN，如上圖所示：
∵MN∥BC
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵OB，OC分別為∠ABC、∠ACB的平分線
∴∠OBM=∠OBC，∠OCN=∠OCB
∴∠OBM=∠MOB=∠OBC，∠OCN=∠NOC=∠OCB
∴OM=BM，ON=NC
∴MN=OM+ON=BM+NC
所以，BM、MN、NC存在的數(shù)量關(guān)系為：BM+NC=MN．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯角相等，關(guān)鍵在于利用等價替換求證BM+NC=MN．