Question

對于有理數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“⊙”，規(guī)定a⊙b=|a+b|+|a﹣b|．

（1）計算2⊙（﹣3）的值；

（2）①當(dāng)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡a⊙b；

②當(dāng)a⊙b=a⊙c時，是否一定有b=c或者b=﹣c？若是，則說明理由；若不是，則舉例說明．

（3）已知（a⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)=8+a，求a的值．

Answer 1

【考點】有理數(shù)的混合運(yùn)算；數(shù)軸．

【專題】計算題；新定義．

【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；

（2）①根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出a+b與a﹣b的正負(fù)，利用絕對值的代數(shù)意義計算即可得到結(jié)果；

②當(dāng)a⊙b=a⊙c時，不一定有b=c或者b=﹣c，舉例即可；

（3）分類討論a的正負(fù)，利用新定義將已知等式化簡，即可求出a的值．

【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：2⊙（﹣3）=|2+（﹣3）|+|2﹣（﹣3）|=1+5=6；

（2）①從a，b在數(shù)軸上的位置可得a+b＜0，a﹣b＞0，

∴a⊙b=|a+b|+|a﹣b|=﹣（a+b）+（a﹣b）=﹣2b；

②由a⊙b=a⊙c得：|a+b|+|a﹣b|=|a+c|+|a﹣c|，

不一定有b=c或者b=﹣c，

例如：取a=5，b=4，c=3，則|a+b|+|a﹣b|=|a+c|+|a﹣c|=10，

此時等式成立，但b≠c且b≠﹣c；

（3）當(dāng)a≥0時，（a⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)=2a⊙a(bǔ)=4a=8+a，

解得：a=；

當(dāng)a＜0時，（a⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)=（﹣2a）⊙a(bǔ)=﹣4a=8+a，

解得：a=﹣．

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．