Question

已知圓P的圓心P在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）第一象限圖象上，并與x軸相交于A、B兩點，且始終與y軸相切于定點C（0，1）．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)圖象的解析式；
（3）若二次函數(shù)圖象的頂點為D，問是否存在實數(shù)k，使四邊形ADBP為菱形？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（4）此拋物線的頂點D是否可能在圓P內(nèi)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，P的坐標(biāo)是（k，1），得到PA=PC=k，由PA＞PH即可得到答案；
（2）根據(jù)勾股定理得到AH=

k2-1

，得到A（k-

k2-1

，0），由⊙P交x軸于A、B兩點，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB，得到B（k+

k2-1

，0），可設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-k）²+h，代入得到方程組

ak2+h=1 a(k+ k2-1 -k)2+h=0

求出即可；
^（3）拋物線頂點D坐標(biāo)為（k，1-k²），根據(jù)四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH，得到k²-1=1，求出即可；
（4）根據(jù)PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA，判斷即可．

解答：解：（1）連接PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，
∵P點在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴P的坐標(biāo)是（k，1），
∴PA=PC=k，在Rt△PAH中，由PA＞PH，
解得：k＞1，
答：實數(shù)k的取值范圍是k＞1．

（2）解：在Rt△APH中，AH=

PA2-PH2

=

k2-1

，
∴OA=OH-AH=k-

k2-1

，
∴A（k-

k2-1

，0），
∵由⊙P交x軸于A、B兩點，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB，
∴OB=OA+2AH=k-

k2-1

+2

k2-1

=k+

k2-1

，
∴B（k+

k2-1

，0），
故過A、B兩點的拋物線的對稱軸為PH所在的直線解析式為x=k，
可設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-k）²+h，
又拋物線過C（0，1），B（k+

k2-1

，0），
得：

ak2+h=1 a(k+ k2-1 -k)2+h=0

，
解得a=1，h=1-k²，
∴拋物線解析式為y=（x-k）²+1-k²，
答：經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)圖象的解析式是y=（x-k）²+1-k²．

（3）解：由（2）知拋物線頂點D坐標(biāo)為（k，1-k²），
∴DH=k²-1，
若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH，
∵PH=1，
∴k²-1=1，
又∵k＞1，
∴k=

2

∴當(dāng)k取

2

時，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形，
答：存在實數(shù)k，使四邊形ADBP為菱形，k的值是

2

．

（4）答：D點不可能在圓P內(nèi)，
證明：∵PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA（圓P的半徑），
所以D點不可能在圓P內(nèi)．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．