Question

【題目】已知拋物線與軸相交于A,B兩點，其頂點為M，將此拋物線在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖像，如圖，當直線與此圖像有且只有兩個公共點時，則的取值范圍為_____________.

Answer 1

【答案】或-1＜n＜3．

【解析】

首先根據解析式求與x軸交點A、B的坐標，確定二次函數的頂點M，由翻折性質求新拋物線頂點坐標為（1，4），得出新拋物線的解析式；求直線y=-x+n過兩個邊界點時對應的n的值，并求直線與新拋物線相切時的n值，繼而得出n的取值范圍．

解：當y=0時，y=x2-2x-3=0，

（x-3）（x+1）=0，

x= -1或3，

∴A（-1，0），B（3，0），

y=x2-2x-3=(x-1)2-4，

∴M（1，-4），

如圖，作直線y= -x，

分別過A、B作直線y=-x的平行線，

當直線y=-x+n經過A（-1，0）時，1+n=0，n=-1，

當直線y=-x+n經過B（3，0）時，-3+n=0，n=3，

∴n的取值范圍為：-1＜n＜3，

根據題意得：翻折后的頂點坐標為（1，4），

∴翻折后的拋物線的解析式為：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，

當直線y=-x+n與拋物線y=-x2+2x+3只有一個公共點時，

則，

-x2+2x+3=-x+n，

-x2+3x+3-n=0，

△=9+4(3-n)=0，

n=，

綜上所述：當直線y=-x+n與此圖象有且只有兩個公共點時，則n的取值范圍為或-1＜n＜3．