【題目】綜合與實踐
問題情境
在綜合與實踐課上,同學(xué)們以“三角形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.
操作發(fā)現(xiàn)
“楊輝”小組的同學(xué)用一張鈍角三角形紙片,為鈍角,進行了如下操作:
第一步:如圖1,折出的角平分線;
第二步:如圖2,展平紙片,再次折疊該三角形紙片,使預(yù)點與點重合,拆痕分別與,交于點,;
第三步:如圖3,再次展平紙片,連接,,可得四邊形.
(1)在圖4的中利用尺規(guī)作出折痕,;
(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)
實踐探究
(2)試判斷圖3中四邊形的形狀,并寫出證明過程;
深入探究
(3)“陳景潤”小組的同學(xué)突發(fā)奇想,在“楊輝”小組同學(xué)操作的基礎(chǔ)上設(shè)計了這樣一個問題:在圖3中,連接,分別交于點,交于點,若,,利用相似三角形的知識可以求出的長.請你寫出求解過程.
【答案】(1)見解析;(2)菱形,證明見解析;(3),過程見解析
【解析】
(1)作∠BAC的角平分線AD與BC交于點D,再做AD的中垂線與AB交于E,與AC交于F即可;
(2)由折疊可知,是的角平分線,是的垂直平分線,再通過垂直平分線和角平分線的性質(zhì)可得,,即可證明四邊形是平行四邊形,再根據(jù),得證平行四邊形是菱形;
(3)連接,通過證明,可得,即,求得,從而得出.
解:(1)如圖所示,
(2)菱形,
證明:由折疊可知,是的角平分線,是的垂直平分線,
∵是的垂直平分線
∴,,
∴,
∵是的角平分線
∴
∴,
∴,
∴四邊形是平行四邊形,
又∵
∴平行四邊形是菱形.
(3)連接,
∵四邊形為菱形,
∴垂直平分,
∴點在的垂直平分線上,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從A,B兩地相向勻速行駛,甲車先出發(fā)兩小時,甲車到達B地后立即調(diào)頭,并保持原速度與乙車同向行駛,乙車到達A地后,繼續(xù)保持原速向遠離B的方向行駛,經(jīng)過一段時間后兩車同時到達C地,設(shè)兩車之間的距離為y(干米),甲車行駛的時間為x小時,y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示,則當(dāng)甲車重返A地時,乙車距離C地________千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年5月31日是第26個“世界無煙日”,校學(xué)生會書記小明同學(xué)就“戒煙方式”的了解程度對本校九年級學(xué)生進行了一次隨機問卷調(diào)查,如圖是他采集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖(A:了解較多,B:不了解,C:了解一點,D:非常了解).請你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題:
(1)在扇形統(tǒng)計圖中的橫線上填寫缺失的數(shù)據(jù),并把條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)2013年該初中九年級共有學(xué)生400人,按此調(diào)查,可以估計2013年該初中九年級學(xué)生中對戒煙方式“了解較多”以上的學(xué)生約有多少人?
(3)在問卷調(diào)查中,選擇“A”的是1名男生,1名女生,選擇“D”的有4人且有2男2女.校學(xué)生會要從選擇“A、D”的問卷中,分別抽一名學(xué)生參加活動,請你用列表法或樹狀圖求出恰好是一名男生一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與軸交于,兩點,且,兩點均在直線的下方,那么下列說法正確的是( )
A.拋物線開口一定向上B.拋物線的頂點不可能在第四象限
C.拋物線與已知直線有兩個交點D.拋物線的對稱軸可能在軸右側(cè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,是邊上一動點,以點為頂點,為一腰作等腰,使,且,設(shè),,我們稱為的“頂補三角形”.
(1)求與的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,為的“頂補三角形”,過點作的平行線,交于點,若四邊形是平行四邊形,求證:;
(3)如圖3,四邊形中,,,點在上,,B,,且,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1,且m≠0.
(1)求拋物線的頂點坐標;
(2)試說明拋物線與直線有兩個交點;
(3)已知點T(t,0),且-1≤t≤1,過點T作x軸的垂線,與拋物線交于點P,與直線交于點Q,當(dāng)0<m≤3時,求線段PQ長的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下表,從左邊第一個格子開始向右數(shù),在每個小格子中都填入一個整數(shù),使得其中仼意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等.
5 | 4 | …… |
(1)可求得_____;_____;_____.
(2)第2019個格子中的數(shù)為______;
(3)前2020個格子中所填整數(shù)之和為______.
(4)前個格子中所填整數(shù)之和是否可能為2020?若能,求出的值,若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣3,0),B(l,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是拋物線上的動點,且滿足S△PAO=2S△PCO,求出P點的坐標;
(3)連接BC,點E是x軸一動點,點F是拋物線上一動點,若以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出點F的坐標.
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