Question

7．如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長(zhǎng)BD至G，使得DG=BD，連結(jié)EG，F(xiàn)G，若AE=DE，則$\frac{EG}{AB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 連接AC、EF，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AB=BD，然后判斷出△ABD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三個(gè)角都是60°求出∠ADB=60°，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)H，AB=4x，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH，再求出DH，從而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．

解答 解：如圖，連接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的邊AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的對(duì)稱(chēng)性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位線，
∴DH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$BD=x，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=$\sqrt{E{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（5x）^{2}}$=2$\sqrt{7}$x，
所以，$\frac{EG}{AB}$=$\frac{2\sqrt{7}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形以及三角形的中位線．