Question

如圖，A、B是直線L上的兩點(diǎn)，AB=4厘米，過(guò)L外一點(diǎn)C作CD∥L，射線BC與L所成的銳角∠1=60°，線段BC=2厘米，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向運(yùn)動(dòng)，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t＞2時(shí)，PA交CD于E．
（1）用含t的代數(shù)式分別表示CE和QE的長(zhǎng)．
（2）求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)QE恰好平分△APQ的面積時(shí)，QE的長(zhǎng)是多少厘米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意的出BP=t，CQ=2t，PC=t-2．再根據(jù)EC∥AB，得出

EC

AB

=

PC

PB

最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的長(zhǎng)．
（2）本題關(guān)鍵是得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，那么求面積就要知道底邊和高的長(zhǎng)，我們可以QE為底邊，過(guò)P引l的垂線作高，根據(jù)P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函數(shù)求出高，那么關(guān)鍵是求QE的長(zhǎng)，我們可以根據(jù)Q的速度用時(shí)間t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因?yàn)镋C∥BA，那么我們可以用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)求CE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形PEC和PAB相似，可得出關(guān)于CE、AB、PC、BC的比例關(guān)系式，有BP、BC、AB的值，那么我們就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式了．
（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面積，那么此時(shí)P到CD和CD到l之間的距離就相等，那么C就是PB的中點(diǎn)，可根據(jù)BP=2BC求出t的值，然后根據(jù)（1）中得出的表示QE的式子，將t代入即可得出QE的值．

解答：解：（1）由題意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，∴

EC

AB

=

PC

PB

∴EC=

PC•AB

PB

=

4(t-2)

t

∴QE=QC-EC=2t-

4(t-2)

t

=

2(t2-2t+4)

t

（2）作PF⊥L于F，交DC延長(zhǎng)線于M，AN⊥CD于N．則在△PBF中，PF=PB•sin60°=

3

2

t
∴S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE
=

1

2

QE•AN+

1

2

QE•PM=

1

2

QE•PF
=

1

2

2(t2-2t+4)

t

•

3

2

t=

3

2

(t2-2t+4)

（3）此時(shí)E為PA的中點(diǎn)，所以C也是PB的中點(diǎn)
則t-2=2，
∴t=4
QE=

2(t2-2t+4)

t

=

2(42-2×4+4)

4

=6（厘米）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)相似三角形得出表示CE的式子是解題的關(guān)鍵所在．