Question

14．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1．
（1）直接判斷函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）和y=-2x+1（-4＜x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，直接寫出其邊界值；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（-2≤x≤1）的邊界值是3，且這個函數(shù)的最大值是2，求這個一次函數(shù)的解析式；
（3）將二次函數(shù)y=-x²（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向上平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是n，當(dāng)m在什么范圍時，滿足$\frac{3}{4}$≤n≤1．

Answer 1

分析 （1）在x的取值范圍內(nèi)，y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的y無最大值，不是有界函數(shù)；y=-2x+1（-4＜x≤2）是有界函數(shù)，其邊界值是9；
（2）當(dāng)k＞0時，根據(jù)有界函數(shù)的定義確定函數(shù)過（1，2），（-2，-3）兩點(diǎn)；當(dāng)k＜0時，根據(jù)有界函數(shù)的定義確定函數(shù)過（-2，2），（1，-3）兩點(diǎn)；利用待定系數(shù)法解答即可；
（3）先設(shè)m＞1，函數(shù)向上平移m個單位后，x=0時，y=m，此時邊界值t≥1，與題意不符，故m≤1，判斷出函數(shù)y=-x²所過的點(diǎn)，結(jié)合平移，求出0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

解答 解：（1）y=$\frac{2}{x}$（x＞0）不是有界函數(shù)；
y=-2x+1（-4＜x≤2）是有界函數(shù)，
當(dāng)x=-4時，y=9，當(dāng)x=2時，y=-3，
∴對于-4＜x≤2時，任意函數(shù)值都滿足-9＜y≤9，
∴邊界值為9．
（2）當(dāng)k＞0時，由有界函數(shù)的定義得函數(shù)過（1，2），（-2，-3）兩點(diǎn)，設(shè)y=kx+b，將（1，2）（-2，-3）代入上式得$\left\{\begin{array}{l}k+b=2\\-2k+b=-3\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{3}\\ b=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，所以：y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
當(dāng)k＜0時，由有界函數(shù)的定義得函數(shù)過（-2，2），（1，-3）兩點(diǎn)，設(shè)y=kx+b，將（-2，2），（1，-3）代入上式得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=2\\ k+b=-3\end{array}\right.$，即得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{5}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，函數(shù)解析式為y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
（3）若m＞1，函數(shù)向上平移m個單位后，x=0時，y=m，此時邊界值t≥1，與題意不符，故m≤1，函數(shù)y=-x²過點(diǎn)（-1，-1），（0，0）；向上平移m個單位后，平移圖象經(jīng)過（-1，-1+m）；（0，m）．
∴-1≤-1+m≤-$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1，即0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時要熟悉平移變換的性質(zhì)．