Question

4．如圖，C是線段BD上一點，分別以BC和CD為邊長，在直線BD的同一側(cè)作兩個等邊三角形，△ABC和△ECD，連接BE和AD，BE與AC交于點F，AD與CE交于點G．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）探究△CFG的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可證明△BCE≌△ACD；
（2）首先可證明△BCF≌△ACG，從而得出CF=CG，根據(jù)CG=CF，∠ACE=60°，得出△GCF是等邊三角形．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
同理：CE=CD，∠ECD=60°，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）解：△GCF是等邊三角形，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACE=60°
∴∠ACB=∠ACE，
在△BCF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAD}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（SAS），
∴CG=CF；
∵CG=CF，∠ACE=60°；
∴△GCF是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)得出CG=CF是解答此題的關(guān)鍵．