Question

如圖，兩弦AB、CD相交于E，且AB⊥CD，過E的直線交AC于G，交BD于F．

(1)若EF⊥BD，求證AG＝GC；

(2)若AG＝GC，求證EF⊥BD．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因為AB⊥CD于E，所以∠AED＝，所以∠GEA＋∠DEF＝－＝，因為EF⊥BD于F，所以∠D＋∠DEF＝，所以∠GEA＝∠D．又∠D＝∠A，所以∠A＝∠GEA．所以AG＝EG，因為AB⊥CD，所以∠A＋∠C＝∠AEG＋∠GEC＝，所以∠GEC＝∠C，所以GE＝GC．所以AG＝GC．所以G是AC的中點． 　　(2)因為AB⊥CD于E，G是AC的中點，所以AG＝GE，所以∠A＝∠GEA．又∠GEA＝∠BEF，所以∠A＝∠BEF．因為AB⊥CD于E，所以∠A＋∠C＝，所以∠BEF＋∠C＝．又∠C＝∠B，所以∠BEF＋∠B＝．所以∠EFB＝，即GF⊥BD．