Question

如圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是半圓的切線．
（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理推論得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠BCA=90°，而∠MAC=∠ABC，則∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根據(jù)切線的判定即可得到結論；
（2）連AD，根據(jù)圓周角定理推論得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，則∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又
D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用對頂角相等易得∠1=∠2，則有FD=FG．
解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線；

（2）解：如圖
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端點，并且與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理及其推論、三角形外角的性質以及等腰三角形的判定．