Question

．(10分) 如圖9，正方形ABCD邊長為10cm，P、Q分別是BC、CD上的兩個動點，當P 點在BC上運動時，且A P⊥PQ.

（1）求證：△ABP∽△PCQ；

（2）當BP等于多少時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．

 

Answer 1

 

（1）△ABP∽△PCQ，證明略。

（2）當BP等于4cm或6cm時，四邊形ABCQ的面積為62cm²

解析:

（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，

           ∵ AP⊥PQ， ∴ ∠APQ=90°，∴ ∠APB+∠CPQ=90°.

在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°, ∴∠BAP=∠CPQ . ∴ △ABP∽△PCQ .

（2）解法1：設BP=x. ∵ △ABP∽△PCQ ，∴ ，,

∴ , ∴ .

整理，得x²-10x+24=0. 解得x₁=4，x₂=6.

∴ 當BP等于4cm或6cm時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．

解法2：設BP=x. ∵ S_Rt△ADQ=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形ABCQ}=100-62=38.

∴ AD·DQ=38，∴ DQ=，∴ QC=CD-DQ=10-=

∵ △ABP∽△PCQ ，∴ ，,

整理，得x²-10x+24=0. 解得x₁=4，x₂=6.

∴ 當BP等于4cm或6cm時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．