Question

如圖10所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4。將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上。

（1）在圖10所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長。

（2）線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）當(dāng)t（0<t<3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

         圖10

Answer 1

解（1）

　　　　

　　　 據(jù)題意，△AOE≌△ADE

　　　 ∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90⁰，AD＝AO＝3

　　　 在Rt△AOB中，

　　　

　　　 設(shè)DE＝OE＝x

　　　 在Rt△BED中

　　　 BD²＋DE²＝BE²

　　 　即2²＋x²＝（4－x）²

　　　 解得

　　　 ∴E（0，）

　　　 在Rt△AOE中

　　　

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90⁰

∴四邊形PMND是矩形

∵AP＝t×1＝t

∴PD＝3－t

∵△AMP∽△AED

∴

∴PM＝

∴

∴或

當(dāng)時(shí)

（3）△ADM為等腰三角形有以下二種情況

①當(dāng)MD＝MA時(shí)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)

∴

∴（秒）

∴當(dāng)時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形

過點(diǎn)M作MF⊥OA于F

∵△APM≌△AFM

∴AF＝AP＝，MF＝MP＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）

②當(dāng)AD＝AM＝3時(shí)

△AMP∽△AED

∴

∴

∴

∴（秒）

∴當(dāng)秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形

過點(diǎn)M作MF⊥OA于F

∵△AMF≌△AMP

∴AF＝AP＝，FM＝PM＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）