Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線DB于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，只要證明OC∥BD即可．
（2）在Rt△ABF中，根據(jù)BH=$\frac{AB•BF}{AF}$計算即可．

解答 證明（1）連接OC．

∵C是$\widehat{AB}$中點，AB是○O的直徑
∴OC⊥AB，
∵BD是○O切線，
∴BD⊥AB．
∴OC∥BD．
∵AO=BO，
∴AC=CD

（2）∵E是OB中點，
∴OE=BE
在△COE與△FBE中，
∠CEO=∠FEB
OE=BE
∠COE=∠FBE
△COE≌△FBE（ASA）
∴BF=CO
∵OB=2，
∴BF=2
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是直徑
∴BH⊥AF
∴AB•BF=AF•BH
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查圓的有關知識，切線的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些知識的應用，學會條件常用輔助線，屬于中考�？碱}型．