Question

正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離分別是1，2，3，則正方形的面積等于________．

Answer 1

5+2
分析：把△PAB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EAD，把△CPB繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFD，連PE，PF，則∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E，D，F(xiàn)共線，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE，△CPF均為等腰直角三角形，所以S_△APE=×1×1=；S_△CPF=×3×3=；再在△PEF中，PE=，PF=3，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF為直角三角形，∠PEF=90°，則S_△PEF=×EP×EF=××4=2，最后利用S_{正方形ABCD}=S_{五邊形APCFE}=S_△PEF+S_△APE+S_△CPF，即可得到答案．
解答：解：四邊形ABCD為正方形，PA=1，PB=2，PC=3，
把△PAB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EAD，把△CPB繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFD，連PE，PF，如圖，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
而∠ADC=90°，
∴∠EDF=180°，即E，D，F(xiàn)共線；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APE，△CPF均為等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，
∴S_△APE=×1×1=；S_△CPF=×3×3=，
在△PEF中，PE=，PF=3，EF=4，
∴PF²=PE²+EF²，
∴△PEF為直角三角形，∠PEF=90°，
∴S_△PEF=×EP×EF=××4=2，
∴S_{正方形ABCD}=S_{五邊形APCFE}=S_△PEF+S_△APE+S_△CPF=2+5．
故答案為2+5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．同時(shí)考查了正方形、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．