Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）交x軸于點(diǎn)A（x₁，0）B（x₂，0），x₁＜0，x₂＞0，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，此拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，且S_△AOC：S_△BOC=1：3．
（1）求此拋物線的解析式（用含a的式子表示）；
（2）設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M，MO的延長(zhǎng)線交⊙M于點(diǎn)F，當(dāng)直線PC的解析式為y=-x-3時(shí)，求弧AC與半徑AM、CM所圍成扇形的面積及過(guò)點(diǎn)F且與⊙M相切的直線L的解析式？
（3）在（1）問(wèn)下，△ABC能否成為鈍角三角形？能否成為等腰三角形？若能，求出相應(yīng)的a值或a值的范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_△AOC：S_△BOC=1：3即可得到OA：OB的值，再根據(jù)對(duì)稱軸，即可求得OA，OB的長(zhǎng)，得到A，B的坐標(biāo)，從而求得函數(shù)解析式；
（2）C在直線y=-x-3上，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)扇形的面積公式即可求得扇形的面積，然后根據(jù)三角形的相似以及互相垂直的兩直線的關(guān)系求得切線的解析式；
（3）構(gòu)成鈍角三角形則兩邊的平方和大于第三邊的平方，據(jù)此即可得到關(guān)于a的不等式，求得a的值；若是等腰三角形，分情況討論，解方程即可求得a的值．

解答：解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：3，
∴OA：OB=1：3，
則-3x₁=3x，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，即

x1+x2

2

=1，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴拋物線的解析式是：y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a；

（2）在解析式y(tǒng)=-x-3中，令x=0，解得：y=3．
則C的坐標(biāo)是（0，-3）．
∴拋物線的解析式y(tǒng)=ax²-2ax-3a中-3a=-3，
∴a=1，
∴二次函數(shù)的解析式是：y=x²-2x-3，
∴OB=OC=3，則△OBC是等腰直角三角形．
∴∠AMC=90°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
AC=

OA2+OC2

=

1+3

=

10

，
∴半徑MA=MC=

2

2

×

10

=

5

．
∴S_扇形AMC=

90π×( 5 )2

360

=

5

4

π；
過(guò)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=1，AD=OA+DO=2，
∴MD=

MA2-AD2

=1，
則M的坐標(biāo)是（1，-1）．
過(guò)F作FE⊥x軸與E．
∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)．
∴FE=2MD=2，AE=2AD=4，
則OE=3．
∴F的坐標(biāo)是（3，-2）．
直線AF的斜率是：-

1

2

．
則過(guò)F點(diǎn)的直線的斜率是2．
則函數(shù)解析式是：y+2=2（x-3），即y=2x-8；

（3）在（1）的條件下：AB=4，OC=3a，
∴AC²=1+9a²，BC²=9+9a²，AB2=16．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，AC²+BC²＜AB²時(shí)，1+9a²+9+9a²＜16，
解得：0＜a＜

3

3

；
AC²+AB²＞BC²時(shí)，1+9a²+16＜9+9a²，無(wú)解；
當(dāng)BC²+AB²＜AC²時(shí)，9+9a²+16＜1+9a²，無(wú)解．
故當(dāng)0＜a＜

3

3

時(shí)，△ABC是鈍角三角形．
當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，若AC=AB，則1+9a²=16，解得：a=

15

3

；
當(dāng)BC=AB時(shí)，9+9a2=16，解得：a=

7

3

．
故當(dāng)a=

15

3

或

7

3

時(shí)，△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與圓，二次函數(shù)與一次函數(shù)之間的綜合應(yīng)用，難度較大．