Question

如圖，巳知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于    （結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，再根據(jù)求出其邊長(zhǎng)，可根據(jù)三角函數(shù)得出三角形面積．
解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴=，
∵AB=2AD，S_△ABC=，
∴S_△ADE=，
在△EAF中，作HF⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設(shè)AH=HF=x，則EH=xtan30°=x．
又∵S_△ADE=，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為的等邊三角形，
∴×AB×CM=，
∠BCM=30°，
AB=2k，BM=k，CM=k，
∴k=1，AB=2，
∴AE=AB=1，
∴x+x=1，
解得x==．
∴S_△AEF=×1×=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問(wèn)題可解．