Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相交于E、F，AC⊥CD，垂足為C．
（1）求證：∠BAF=∠CAE；
（2）若移動直線CD，使它與線段AB相交（交點除點A和點B），其它條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？若成立．請證明；若不成立，試說明理由；
（3）若直線CD與⊙O相切于T點，其它條件不變，先畫出圖形，再寫一個結(jié)論，并證明．（圖2、圖3為備用圖形）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它相鄰的內(nèi)對角以及圓周角定理得出即可；
（2）利用直徑所對圓周角等于90°，以及同弧所對圓周角相等得出即可；
（3）首先證明∠CET=∠CTA，再利用相似三角形的判定以及性質(zhì)得出比例式，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠ABF=∠CEA，（圓內(nèi)接四邊形的外角等于它相鄰的內(nèi)對角）
∴∠BAF=∠CAE；

（2）結(jié)論：成立．
證明：連接AE，AF，BF
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠AEC=∠ABF，（同弧所對圓周角相等）
∴∠BAF=∠CAE；

（3）結(jié)論：CT²=CE×AC．
證明：假設CD與圓相切于點T，連接ET，AT，TO，BT，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ATB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACT=90°，
∵CD與圓相切于點T，
∴∠OTD=90°，
∵∠OTB+∠BTD=90°，
∴∠ATO=∠DTB，
∵AO=OT，
∴∠OAT=∠ATO=∠DTB，
∵∠B+∠TAB=90°，∠DTB+∠CTA=90°，
∴∠B=∠CTA，
∵∠B=∠CET，
∴∠CET=∠CTA，
∵∠ACT=∠ACT，
∴△ACT∽△TCE，
∴

CT

CE

=

AC

CT

，
∴CT²=CE×AC．

點評：此題主要考查了圓周角定理的綜合應用以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練地應用其性質(zhì)利用三角形相似得出是解決問題的關(guān)鍵．