Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連結BC、AD.
求（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；
（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉90°后                                      再沿x軸對折得到△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由. 
 

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC="2" .
∴   解得
∴拋物線的解析式為： 
（2）點E落在拋物線上. 理由如下：
由y = 0，得.
解得x₁=1，x₂="4." ∴A（4，0），B（1，0）. 
∴OA=4，OB=1.     由矩形性質知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉、軸對稱性質知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點E的坐標為（3，－1）.  
把x=3代入，得，
∴點E在拋物線上.  
（3）存在點P（a，0）. 記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.
當PQ經過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂ = 3，
此時S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.
設直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）
∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.
下面分兩種情形：  
①當S₁∶S₂ = 1∶3時，= 2；∴4a－7 = 2，解得；
②當S₁∶S₂ = 3∶1時，；∴4a－7 = 6，解得；
綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）

解析