Question

如圖，已知拋物線C₁的解析式為y=-x²+2x+8，圖象與y軸交于D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲線上．
（1）求過頂點(diǎn)A的雙曲線解析式；
（2）若開口向上的拋物線C₂與C₁的形狀、大小完全相同，并且C₂的頂點(diǎn)P始終在C1上，證明：拋物線C₂一定經(jīng)過A點(diǎn)；
（3）設(shè)（2）中的拋物線C₂的對稱軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線交于E點(diǎn)，當(dāng)D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線y=x上求一點(diǎn)M，使|MD-MP|的值最大．

Answer 1

分析：（1）把拋物線C₁的解析式化為頂點(diǎn)式即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出經(jīng)過A點(diǎn)的雙曲線解析式即可；
（2）設(shè)拋物線C₂的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由點(diǎn)P（m，n）在拋物線C₁上可得出n、m的解析式，再根據(jù)C₁與C₂的形狀、大小完全相同，開口向上，可設(shè)出拋物線C₂的解析式，令x=1即可得出拋物線C₂必經(jīng)過得點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線C₂的對稱軸為x=m，則OF=|m|，EF=|

9

m

|，由拋物線C₁的解析式求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)由D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形是梯形，由梯形的面積公式即可求出m的值，進(jìn)而可求出P₁、P₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
①當(dāng)點(diǎn)D、P₁在直線y=x的同側(cè)，連接P₁D交直線y=x于點(diǎn)M₁，則M₁點(diǎn)即為所求點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出過D、P₁兩點(diǎn)的直線解析式，根據(jù)此解析式與y=x有交點(diǎn)即可求出M₁點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)D、P₂在直線y=x的異側(cè)，D點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為D′（8，0），連接D′P₂交直線y=x于M₂點(diǎn)，則M₂點(diǎn)即為所求點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出過D、P₂兩點(diǎn)的直線解析式，根據(jù)此解析式與y=x有交點(diǎn)即可求出M₂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由拋物線C₁的解析式可得，y=-（x-1）²+9，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，9）
設(shè)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，9）的反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

（k≠0），
把x=1，y=9代入得9=

k

1

，
解得k=9，
∴圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，9）的反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

；

（2）設(shè)拋物線C₂的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線C₁上，
∴n=-m²+2m+8，
又∵C₁與C₂的形狀、大小完全相同，開口向上，
∴可設(shè)拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+（-m²+2m+8）=x²-2mx+2m+8，
∴當(dāng)x=1時(shí)，由拋物線C₂的解析式得，y=1-2m+2m+8=9，
∴拋物線C₂必經(jīng)過A（1，9）點(diǎn)；

（3）如圖1，設(shè)拋物線C₂的對稱軸為x=m，則OF=|m|，EF=|

9

m

|，
由拋物線C₁的：y=-x²+2x+8得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
∵由D、O、E、F四點(diǎn)組成的四邊形是梯形，
∴（8+|

9

m

|）×|m|×

1

2

=16.5，解得m=±3，
當(dāng)m=3時(shí)，n=-m²+2m+8=-3²+2×3+8=5，
∴P₁（3，5）；
當(dāng)m=-3時(shí)，n=-m²+2m+8=-（-3）²+2×（-3）+8=-7，
∴P₂（-3，-7），

①如圖2，點(diǎn)D、P₁在直線y=x的同側(cè)，連接P₁D交直線y=x于點(diǎn)M₁，則M₁點(diǎn)即為所求點(diǎn)．
∵過D（0，8）、P₁（3，5）兩點(diǎn)的直線解析式為y=-x+8，
由方程組

y=-x+8 y=x

得

x=4 y=4

；
∴M₁（4，4）；

②如圖3，點(diǎn)D、P₂在直線y=x的異側(cè)，D點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為D′（8，0），
連接D′P₂交直線y=x于M₂點(diǎn)，則M₂點(diǎn)即為所求點(diǎn)．
∵過D′（8，0）、P₂（-3，-7）兩點(diǎn)的直線解析式為y=

7

11

x-

56

11

，
由方程組

y= 7 11 x- 56 11 y=x

得，

x=-14 y=-14

，
∴M₂（-14，-14）．

綜上所述，當(dāng)M點(diǎn)為（4，4）或（-14，-14）時(shí)，使得|MD-MP|的值最大．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式，涉及面較廣，難度較大．