Question

【題目】如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F(xiàn)為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBF=∠CDB．

（1）求證：FB為⊙O的切線；

（2）若AB=8，CE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）R=5．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理證得∠CBD＝90°，然后根據(jù)等邊對(duì)等角以及等量代換，證得∠OBF＝90°即可證得；（2）首先利用垂徑定理求得BE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得出方程，即可求得圓的半徑．

（1）連接OB．

∵CD是直徑，

∴∠CBD＝90°，

又∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠D，

又∠CBF＝∠D，

∴∠CBF＝∠OBD，

∴∠CBF＋∠OBC＝∠OBD＋∠OBC，

∴∠OBF＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF，

∴FB是圓的切線；

（2）∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，

∴BE＝AB＝4，

設(shè)圓的半徑是R，

在直角△OEB中，根據(jù)勾股定理得：R2＝（R﹣2）2＋42，

解得：R＝5．