Question

11．已知圓錐的軸截面為等邊三角形，則（1）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為180°；（2）圓錐的側(cè)面積與底面積之比為2：1．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2a，則圓錐的母線長(zhǎng)為2a，底面圓的半徑為a，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為n°，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到$\frac{n•π•2a}{180}$=2πa，解方程求出n即可得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)；然后計(jì)算圓錐的側(cè)面積和底面積，再計(jì)算它們的比．

解答 解：如圖，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2a，則圓錐的母線長(zhǎng)為2a，底面圓的半徑為a，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為n°，
則$\frac{n•π•2a}{180}$=2πa，解得n=180，
即圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為180°；
圓錐的側(cè)面積=$\frac{1}{2}$•2πa•2a=2πa²，底面積=πa²，
所以圓錐的側(cè)面積與底面積之比=2πa²：πa²=2：1．
故答案為180°，2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．