Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)：
①通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
③請(qǐng)證明你的上述兩個(gè)猜想；
（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形可以得到DE=EF，NE=BF，要證明這兩個(gè)關(guān)系，只要證明△DNE≌△EBF即可．在第二個(gè)圖形中，只要驗(yàn)證一下這個(gè)相等關(guān)系是否還成立就可以．

解答：解：（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分別為AD，AB中點(diǎn)，
∴AN=DN=

1

2

AD，AE=EB=

1

2

AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中

∠ADE=∠FEB DN=EB ∠DNE=∠EBF

，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），
連接NE，則點(diǎn)N可使得NE=BF．
此時(shí)DE=EF．
證明方法同（1），證△DNE≌△EBF（ASA）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵就是求證△DNE≌△EBF．