Question

【題目】在四邊形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)平分，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OE=．

【解析】

（1）由一組對(duì)邊平行且相等證明四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出∠ABD=∠ADB，從而得到AB=AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）先證明△ABD是等邊三角形，得到∠ADB=60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及DE=BO，證明DE=DO，從而得到∠E=∠EOD=30°，OE=OA，再利用含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可解答．

（1）證明：∵，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴平行四邊形ABCD是菱形．

（2）∵AB=AD，∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠E+∠EOD=60°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAC=30°，OD=OB，AC⊥BD，

∵DE=BO，

∴DE=DO，

∴∠E=∠EOD=30°，

∴∠E=∠DAC，

∴OE=OA，

在Rt△AOD中，AD=4，∠DAO=30°，

∴DO=2，AO=，

∴OE=．