Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點(diǎn)，MN⊥AB，垂足為N，P、Q分別是弧AM、弧BM上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），已知∠MNP=∠MNQ，下面結(jié)論：①∠1=∠2；②∠Q=∠PMN；③∠P+∠Q=180°；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．其中正確的個(gè)數(shù)有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：利用等角的余角相等得到①對(duì)．利用垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等得②對(duì)．利用三角形內(nèi)角和定理得③錯(cuò)．利用三角形相似得④錯(cuò)，⑤對(duì)．
解答：解：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，
如圖∵M(jìn)N⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
則∠1=∠2，故①正確；
∵AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，=，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C關(guān)于AB對(duì)稱，=，=，
∴∠Q=∠PMN，故②正確；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故③錯(cuò)誤；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④錯(cuò)誤，⑤正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．