(2002•連云港)已知:如圖1,PA切⊙O于A點(diǎn),割線PCB交⊙O于C、B兩點(diǎn),D是線段BP上一點(diǎn),且PD2=PB•PC,直線AD交⊙O于E點(diǎn).
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)求證:AB•AC=AD•AE;
(3)若把題中條件“D是線段BP上一點(diǎn)”改為“D是線段BP延長線上一點(diǎn)”(如圖2),則題(2)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給出證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)本題可先根據(jù)切割線定理,以及給出的PD2=PB•PC,得出PA=PD,根據(jù)等邊對(duì)等角,得出∠PAD=∠PDA,根據(jù)∠PAD=∠PAC+∠DAC,∠PDA=∠ABC+BAE,以及圓周角定理得出∠BAE=∠EAC,即AD平分∠BAC;
(2)本題實(shí)際求的是三角形ACD和ABE相似,已知的條件有:圓周角∠ACD=∠AEB,又由(1)的角平分線得出的∠BAE=∠CAE,因此兩三角形就相似,即可得出題中所求證得結(jié)論;
(3)和(1)(2)的方法一樣,先根據(jù)切割線定理得出PA=PD,然后根據(jù)等角的余角相等,得出∠EBA=∠PAD=∠D,又已知了一組直角,那么三角形ABE和三角形ACD相似,由此可得出所求的結(jié)論.
解答:(1)證明:∵PA是⊙O的切線,
∴∠PAC=∠ABC,PA2=PC•PB
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC;

(2)證明:連接BE,則∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
=即:AB•AC=AD•AE;

(3)解:(2)的結(jié)論仍然成立,
證明:連接BE
∵AB是直徑
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切線
∴PA2=PC•PB,∠BAP=90°
∵PD2=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°,∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
=,即:AB•AC=AD•AE
因此,(2)的結(jié)論仍然成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了切線的性質(zhì),切割線定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).用相似三角形來求線段的比例關(guān)系是本題的基本思路.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《一次函數(shù)》(01)(解析版) 題型:選擇題

(2002•連云港)關(guān)于正比例函數(shù)y=-2x,下列結(jié)論正確的是( )
A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2)
B.圖象經(jīng)過第一、三象限
C.y隨x的增大而減小
D.不論x取何值,總有y<0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2002•連云港)關(guān)于正比例函數(shù)y=-2x,下列結(jié)論正確的是( )
A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2)
B.圖象經(jīng)過第一、三象限
C.y隨x的增大而減小
D.不論x取何值,總有y<0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《數(shù)據(jù)收集與處理》(02)(解析版) 題型:解答題

(2002•連云港)某電臺(tái)“市民熱線”對(duì)上周內(nèi)接到的熱線電話進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì),得到的統(tǒng)計(jì)信息如圖所示,某中有關(guān)房產(chǎn)城建的電話有30個(gè),請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)住處圖回答以下問題:
(1)上周“市民熱線”接到有環(huán)境保護(hù)方面的電話有多少個(gè)?
(2)據(jù)此估計(jì),除環(huán)境保護(hù)方面的電話外,“市民熱線”今年(按52周計(jì)算)接到的熱線電話約為多少個(gè)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2002•連云港)已知梯形的下底長5cm,中位線長4cm,它的上底長為( )
A.2.5cm
B.3cm
C.3.5cm
D.4.5cm

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案