Question

已知，⊙O₁內(nèi)切于扇形AOB，切點(diǎn)為C，D，E，⊙O₁的面積為16π，∠AOB=60°，求扇形AOB的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),弧長(zhǎng)的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由⊙O₁的面積為16π，可求得其半徑的長(zhǎng)，然后由∠AOB=60°，可得∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB=30°，繼而求得OO₁的長(zhǎng)，即可求得扇形的半徑的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：如圖，∵⊙O₁的面積為16π，
∴πO₁D²=16π，解得O₁D=4，
∵⊙O₁O₁內(nèi)切于扇形AOB，切點(diǎn)為C，D，E，
∴OC=OO₁+O₁C=OO₁+4，O₁D⊥OA，O₁E⊥OB，
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB=30°，
在Rt△OO₁D中，
∵O₁D=4，∠DOO₁=30°，
∴OO₁=2O₁D=8，
∴OC=12，
∴扇形AOB的周長(zhǎng)為：

60×π×12

180

+2×12=4π+24，S_扇形OAB=

60×π×122

360

=24π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及、弧長(zhǎng)公式與扇形的面積．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．