Question

多彩數(shù)學(xué)，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理過(guò)程，請(qǐng)你指出其錯(cuò)誤之處．如圖：△ABC中，∠BAC的平分線(xiàn)和BC邊的垂直平分線(xiàn)相交于D，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求證：AB=AC．
證明：連結(jié)BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM與Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你認(rèn)為對(duì)嗎？
分三種情況：
（1）AB=AC時(shí)成立；
（2）AB＞AC時(shí)，N在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上；
（3）AB＜AC時(shí)，M在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，解答正確；
（2）AB＞AC時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，三條線(xiàn)段AB、AC、BE的等量關(guān)系為AB=AC+2BM，理由為：由AD為角平分線(xiàn)，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分線(xiàn)定理得到DM=DN，再由AD為公共邊，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形ADN全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到M=AN，再由DE為線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM與直角三角形DNC全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM=CN，等量代換可得證．
（3）AB＜AC時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，三條線(xiàn)段AB、AC、BE的等量關(guān)系為AC=AB+2BM，理由為：由AD為角平分線(xiàn)，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分線(xiàn)定理得到DM=DN，再由AD為公共邊，利用HL得到直角三角形ADM與直角三角形ADN全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到M=AN，再由DE為線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM與直角三角形DNC全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM=CN，等量代換可得證．

解答：解：（1）AB=AC時(shí)，原證明成立．
（2）AB＞AC時(shí)
如圖2所示：

三條線(xiàn)段AB、AC、BE的等量關(guān)系為AB=AC+2BM，理由如下：
∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE為BC的垂直平分線(xiàn)，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
則AB=AM+BM=AN+BM=AC+CN+BM=AC+2BM；
（3）AC=AB+2BM
∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE為BC的垂直平分線(xiàn)，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
則AC=AN+CN=AM+CN=AB+CN+BM=AC+2BM；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線(xiàn)定理的運(yùn)用，以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理的運(yùn)用，全等三角形的判定方法有：SSS；ASA；AAS；SAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．