Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣（a+b）x2﹣2cx+a﹣b中，a、b、c是△ABC的三邊．
（1）當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，判斷△ABC是什么形狀；
（2）當(dāng)x=﹣ 時(shí)，該函數(shù)有最大值 ，判斷△ABC是什么形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ABC是直角三角形；理由如下：

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△=0，

即（﹣2c）2﹣4×[﹣（a+b]（a﹣b）=0，

整理得c2+a2=b2，

∴△ABC是直角三角形

（2）解：△ABC是等邊三角形；理由如下：

根據(jù)題意得：﹣ =﹣ ，即c= 時(shí)，

有 = ，

整理，得2b2﹣a2﹣2c2+ab=0，

將c= 代入，得a2=b2，

∵a＞0，b＞0，

∴a=b=c，

即△ABC是等邊三角形

【解析】（1）由題意得出△=0，得出c2+a2=b2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；（2）由x=﹣ 時(shí)函數(shù)有最大值為 ，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣ ，縱坐標(biāo)為 ，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．