Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，OC=8，若拋物線平移后經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)，得到圖1中的拋物線W．

（1）求拋物線W的表達(dá)式及拋物線W與軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，連結(jié)OB，若矩形OABC從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位得到矩形，求當(dāng)點(diǎn)落在拋物線W上時(shí)矩形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（3）在（2）的條件下，如圖3，矩形從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從出發(fā)沿矩形的邊以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)時(shí)，矩形和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

①請(qǐng)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②已知：點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑是一條線段，求點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)D到CP的距離最大．

Answer 1

（1），6，0）；（2）；（3）①∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②．

【解析】

試題分析：（1）先得到C的坐標(biāo)，再把D、C的坐標(biāo)代入平移后的解析式即可，令y=0，可以得到和x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）經(jīng)過(guò)t秒后，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，將代入，即可求出落在拋物線上的時(shí)間；

（3）① 設(shè)，分兩種情況討論：(I)當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上，(II)當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上（不包含點(diǎn)），

②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，，可以求出點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑所在函數(shù)解析式，還可以求出直線解析式為：，得到DC∥AP，從而有△DCP面積為定值．當(dāng)CP取得最小值時(shí)，點(diǎn)D到CP的距離最大，即當(dāng)CP⊥AP時(shí)，CP取得最小值．

試題解析：（1）依題意得： ，，∴拋物線的解析式為：，另一交點(diǎn)為（6，0）；

（2）依題意：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)t秒后，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，將代入，舍去負(fù)值得：，經(jīng)過(guò)秒落在拋物線上；

（3）① 設(shè)，

(I)當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上，，，∴，；

(II)當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在邊上（不包含點(diǎn)）， ， ，∴，，

綜上所述：∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

②當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑所在函數(shù)解析式為：，又∵直線解析式為：，∴DC∥AP，∴△DCP面積為定值．∴CP取得最小值時(shí)，點(diǎn)D到CP的距離最大，如圖，當(dāng)CP⊥AP時(shí)，CP取得最小值，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，∴∠PMC=90°，∵，∴，，∵∠DCO+∠PCM=90°，∠CPM+∠PCM=90°，∴，∴，在Rt△PMC中，∠PMC=90°，∴， ∴，檢驗(yàn)：，∴經(jīng)過(guò)秒時(shí)，點(diǎn)D到CP的距離最大．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．