Question

（2009•河西區(qū)一模）如圖，在一個(gè)正方形的工件中心挖去一個(gè)小正方形（小正方形的四邊與大正方形的四邊分別平方），留下一個(gè)“方環(huán)”，現(xiàn)在要想求這個(gè)方環(huán)的面積，但只準(zhǔn)測量一次（即只準(zhǔn)測一條線段的長），你能辦到嗎？請(qǐng)敘述你的方法：

作正方形ABCD的外接圓，連接AO，過點(diǎn)E作AO的垂線交⊙O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個(gè)方環(huán)的面積．

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Answer 1

分析：由圖可知：方環(huán)面積=大正方形的面積-小正方形的面積，所以假設(shè)外面的大正方形是ABCD，邊長是a，小正方形的邊長是b，里面的小正方形與A相鄰的頂點(diǎn)是E，那么作正方形ABCD的外接圓O，連接AO，過點(diǎn)E作AO的垂線交圓O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個(gè)方環(huán)的面積．

解答：解：連接OM，AO，過點(diǎn)E作AO的垂線交⊙O于M、N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OM=OA=

2

2

a，OE=

2

2

b，
∵M(jìn)N⊥OA，
∴△MEO是直角三角形，ME=NF=

1

2

MN，
∴ME²=OM²-OE²=

1

4

（a²-b²），
∴（

1

2

MN）²=

1

4

（a²-b²），
即：MN²=a²-b²，
∵方環(huán)面積=a²-b²，
∴方環(huán)面積=MN²．
故答案為：作正方形ABCD的外接圓，連接AO，過點(diǎn)E作AO的垂線交⊙O于M、N，只測量線段MN的長度就能知道這個(gè)方環(huán)的面積．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形和垂徑定理以及勾股定理的運(yùn)用，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手操作能力來說是一道不錯(cuò)的題目．