Question

如圖，BE、CF分別是 △ABC的邊AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

 

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)

（1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根據(jù)SAS證得△QAC≌△APB即可；

（2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通過等量代換得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．

（1）證明：∵AC⊥BE，AB⊥QC      （2）∵△QAC≌△APB

∴∠BFP=∠CEP=90°                     ∴∠AQF=∠PAF

又∵∠FBP=∠EPC                        又AB⊥QC

∴∠FBP=∠ECP                          ∴∠QFA=90°

在△QAC的△APB中                     ∴∠FQA+∠FAQ=90°

BP=AC                                  ∴∠FQA+∠PAF=90°

∠FBP=∠ECP                            即∠PAQ=90°

CQ=AB                                  ∴AP⊥AQ

∴△QAC≌△APB（SAS）

∴AP=AQ