Question

如圖，將腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限，使點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C′的位置．請判斷點(diǎn)B′、C′是否在該拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC=

5

，CO=1，求出AO即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數(shù)解析式；
（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進(jìn)而得出△AC′P≌△CAO，得出B′（1，-1）C′（2，1）代入二次函數(shù)解析式求出即可．

解答：解：（1）如圖1，做BE⊥x軸，
∵腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=

5

，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）將B點(diǎn)（-3，1）坐標(biāo)代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數(shù)解析式；
解析式為：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）如圖2，過點(diǎn)B'作B'M⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)C'作C'P⊥y軸于點(diǎn)P．在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點(diǎn)C′（2，1）；
當(dāng)x=1時y=

1

2

x2+

1

2

x-2=-1，
當(dāng)x=2時y=

1

2

x2+

1

2

x-2=1，
可知點(diǎn)B′、C′在拋物線上．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，注意利用旋轉(zhuǎn)前后圖形的性質(zhì)得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進(jìn)而得出△AC′P≌△CAO是解決問題的關(guān)鍵．