【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3a(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),連接BC.

(1)求該拋物線的解析式和對(duì)稱軸,并寫出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將線段BC先向左平移2個(gè)單位長度,再向下平移m個(gè)單位長度,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1恰好落在該拋物線上,求此時(shí)點(diǎn)C1的坐標(biāo)和m的值;
(3)若點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以P,Q,B,C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx﹣3a(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),

,

解得

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣1)2+2 ,

∴對(duì)稱軸是x=1,

∵1+(1+1)=3,

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1.5,1)


(2)

解:∵線段BC先向左平移2個(gè)單位長度,再向下平移m個(gè)單位長度,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1恰好落在該拋物線上,

∴點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為﹣2,

當(dāng)x=﹣2時(shí),y=﹣ ×(﹣2)2+ ×(﹣2)+2=﹣

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(﹣2,﹣ ),

m=2﹣(﹣ )=5


(3)

解:①若BC為平行四邊形的一邊,

∵BC的橫坐標(biāo)的差為3,

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,

∴P的橫坐標(biāo)為4或﹣2,

∵P在拋物線上,

∴P的縱坐標(biāo)為﹣3 ,

∴P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 );

②若BC為平行四邊形的對(duì)角線,

則BC與PQ互相平分,

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1.5,1),

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.5+(1.5﹣1)=2,

∴P的縱坐標(biāo)為﹣ ×22+ ×2+2=2,

∴P3(2,2).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(4,﹣3 ),P2(﹣2,﹣3 ),P3(2,2)


【解析】(1)把點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,2)的坐標(biāo)代入所給拋物線可得a、b的值,進(jìn)而得到該拋物線的解析式和對(duì)稱軸,再求出點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)即可;(2)根據(jù)平移的性質(zhì)可知,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為﹣2,再代入拋物線可求點(diǎn)C1的坐標(biāo),進(jìn)一步得到m的值;(3)B、C為定點(diǎn),可分BC為平行四邊形的一邊及對(duì)角線兩種情況探討得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,P、Q同時(shí)從B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度分別沿B→A→D→C和B→C→D方向運(yùn)動(dòng)至相遇時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△BPQ的面積為S(平方單位),S與t的函數(shù)圖象如圖2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A.當(dāng)t=4秒時(shí),S=4
B.AD=4
C.當(dāng)4≤t≤8時(shí),S=2 t
D.當(dāng)t=9秒時(shí),BP平分梯形ABCD的面積

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A

B

價(jià)格(萬元/臺(tái))

15

12

月污水處理能力(噸/月)

250

200

經(jīng)預(yù)算,企業(yè)最多支出136萬元購買設(shè)備,且要求月處理污水能力不低于2150噸.

(1)該企業(yè)有哪幾種購買方案?

(2)哪種方案更省錢?并說明理由.

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(1)設(shè)購買A種樹苗x棵,購買A、B兩種樹苗的總費(fèi)用為y元,請(qǐng)你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(2)如果購買A、B兩種樹苗的總費(fèi)用不超過7560元,且B種樹苗的棵數(shù)不少于A種樹苗棵數(shù)的3倍,那么有哪幾種購買樹苗的方案?
(3)從節(jié)約開支的角度考慮,你認(rèn)為采用哪種方案更合算?

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(1)已知BD= ,求正方形ABCD的邊長;
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

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(1)b= , c= , 點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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