Question

已知在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，過O作一直線分別交BC、AD于M、N．
（1）如圖①，求證：梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）如圖②，若矩形ABCD沿MN折疊，能使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，且翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的

1

2

，求BM：MC的值；
（3）矩形ABCD沿MN折疊，當(dāng)MN滿足

 

時(shí)，才能使得點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合（只寫出結(jié)果，不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）連接AC，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MCO=∠ANO，然后利用“角邊角”證明△AON和△COM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=CM，再求出BM=DN，然后根據(jù)梯形的面積公式證明即可；
（2）連接AM，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AM=AN，利用“HL”證明△ABM和△AD′N全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△AD′N=S_△ABM，再根據(jù)三角形的面積求出BM=

1

2

AN，然后求解即可；
（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，MN與AC互相垂直時(shí)點(diǎn)C與A重合．

解答：（1）證明：如圖，連接AC，∵O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴AO=CO，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠MCO=∠ANO，
在△AON和△COM中，

∠MCO=∠ANO AO=CO ∠AON=∠COM

，
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN=CM，
∵AD=BC，
AN+DN=AD，BM+CM=BC，
∴BM=DN，
∵梯形ABMN的面積=

1

2

（AN+BM）•AB，
梯形CDNM的面積=

1

2

（DN+CM）•CD，
∴梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；

（2）如圖，連接AM，∵矩形ABCD沿MN折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ABM和△AD′N中，

AM=AN AB=AD′

，
∴△ABM≌△AD′N（HL），
∴S_△AD′N=S_△ABM，
∵翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的

1

2

，
∴

1

2

AB•BM=

1

2

×

1

2

AN•AB，
∴BM=

1

2

AN，
∵AM=MC=AN，
∴BM：MC=1：2；

（3）當(dāng)MN滿足MN⊥AC時(shí)，才能使得點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合．
故答案為：MN⊥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個(gè)圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．