Question

已知：如圖，AF為△ABC的角平分線(xiàn)，以BC為直徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，連接CE交AB于H，AH=AC．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AC=6，AB=10，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接BE
∵BC為直徑∴∠E=90°，
∴∠EBH+∠EHB=90°，
∵AH=AC，AF為△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠AHC=∠ACH，
∵∠AHC=∠EHB，
∴∠EHB=∠ACH，
∵點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，
∴∠ECB=∠DBE，
∴∠ECB+∠ACH=90°，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵AC是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，
∵AH=AC，
∴BH=4，
又∵∠ECB=∠DBE，∠E為公共角，
∴△BEH∽△CEB，
∴==，
∴在Rt△EBC中，可得，
∴EC=．
分析：（1）連接BE，由AH=AC，得∠AHC=∠ACH，又∠AHC=∠EHB，所以，∠EHB=∠ACH，又由點(diǎn)E為弧BD的中點(diǎn)，所以，∠ECB=∠DBE，所以，∠ECB+∠ACH=90°，即可證明；
（2）由題意得，AC=6，AB=10，所以，BC=8，易證△BEH∽△CEB，可得，==，在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理可求得結(jié)論；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、相似三角形及切線(xiàn)的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握其判定、性質(zhì)定理，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．