Question

（2005•重慶）已知拋物線(xiàn)y=-x²+2（k-1）x+k+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)OA、OB的長(zhǎng)分別為a、b，且a：b=1：5，求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在（2）的條件下，以AB為直徑的⊙D與y軸的正半軸交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙D的切線(xiàn)交x軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B分別在x軸的正負(fù)半軸上，由此可得出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積應(yīng)該是負(fù)數(shù)，即-（k+2）＜0，由此可得出k的取值范圍；
（2）可根據(jù)OA、OB的比例關(guān)系設(shè)出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)（要注意A點(diǎn)在負(fù)半軸上），然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出一個(gè)關(guān)于k的方程組，進(jìn)而可求出k的值，也就求出了拋物線(xiàn)的解析式；
（3）求E點(diǎn)的坐標(biāo)就是求OE的長(zhǎng)，已知了A、B的坐標(biāo)可求出D的坐標(biāo)，以及圓D的半徑長(zhǎng)，如果連接DP，在直角三角形OPE中，可用射影定理得出DP²=OD•DE即r²=OD•DE，由此可求出DE的長(zhǎng)，已知D的坐標(biāo)，可據(jù)此求出E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）且滿(mǎn)足x₁＜0＜x₂
由題意可知x₁x₂=-（k+2）＜0，即k＞-2．

（2）∵a：b=1：5，設(shè)OA=a，即-x₁=a．
則OB=5a，即x₂=5a，a＞0
∴，即
∴k=2a+1，
即5a²-2a-3=0，解得a₁=1，（舍去）
∴k=3
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+4x+5．

（3）由（2）可知，當(dāng)-x²+4x+5=0時(shí)，可得x₁=-1，x₂=5．
即A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）
當(dāng)PE是⊙D的切線(xiàn)時(shí)，PE⊥PD
由Rt△DPO∽R(shí)t△DEP可得PD²=OD•DE
即3²=2×DE
∴DE=，OE=DE-OD=-2=，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、切線(xiàn)的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．