Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，四邊形DECF為正方形，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)簡(jiǎn)述圖甲是經(jīng)過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)變成圖乙？
（2）若AD=3，DB=4，求△ADE與△BDF面積的和；
（3）求△ABC面積．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)DA旋轉(zhuǎn)到DA₁，DE旋轉(zhuǎn)到DF，而∠EDF=90°，由旋轉(zhuǎn)的定義即可描述由圖甲變成圖乙的形成過(guò)程；
（2）證明△ADE∽△DFB，得到這兩個(gè)三角形邊之間的關(guān)系，再利用DE=DF和勾股定理可求出它們的面積和；
（3）由（2）得S_△AED+S_△DFB=6，DE²=

144

25

，那么正方形CFDE的面積即為

144

25

，則△ABC的面積=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}．

解答：解：（1）∵四邊形DECF為正方形，
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到DA₁的位置，DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到DF位置，
∴圖甲中的△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖乙；

（2）設(shè)DE=DF=x．
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴AE：DF=AD：DB=DE：BF，即AE：x=3：4=x：BF，
∴AE=

3

4

x，BF=

4

3

x，
∴S_△AED+S_△DFB=

1

2

•AE•DE+

1

2

•BF•DF=

1

2

•

3

4

x•x+

1

2

•

4

3

x•x=

25

24

x²，
在Rt△AED中，x²+（

3

4

x）²=3²，
∴x²=

144

25

，
∴S_△AED+S_△DFB=

25

24

×

144

25

=6；

（3）由（2）可知：DE²=

144

25

，
則S_{正方形CFDE}=

144

25

，
所以△ABC的面積=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}=6+

144

25

=

294

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉旋轉(zhuǎn)的定義及其性質(zhì)，熟練利用相似比和勾股定理建立線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，記住三角形的面積公式．