Question

18．如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點(diǎn)P．
（1）判斷△APB與△DPC是否相似？并說(shuō)明理由；
（2）若CE⊥BD于E，且PE：EC=3：4，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠A，∠DCA=∠B，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BC，設(shè)PE=3x，CE=4x，根據(jù)勾股定理得到PC=5x，由三角函數(shù)的定義得到cos∠BPC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{3}{5}$，求得cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△APB與△DPC相似，
∵∠D=∠A，∠DCA=∠B，
∴△APB∽△DPC；

（2）連接BC，∵CE⊥BD于E，且PE：EC=3：4，
∴設(shè)PE=3x，CE=4x，
∴PC=5x，
∴cos∠BPC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠PCB=90°，
∴cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∵△APB∽△CDP，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=10，
∴CD=6．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)等重要數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，科學(xué)解答是關(guān)鍵；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．